Дисперсия дискретной случайной величины

6.1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения. Рассмотрим, например, дискретные случайные величины  и , заданные следующими законами распределения:

Найдем математические ожидания этих величин:

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем  имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а  — далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

6.2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

Пусть  — случайная величина и  — ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность .

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

Пусть закон распределения  известен:

Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение , достаточно, чтобы случайная величина приняла значение .

Вероятность же этого события равна ; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение , также равна . Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:

Приведем важное свойство отклонения, которое используется далее.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что  — постоянная величина, имеем

Пример. Задан закон распределения дискретной случайной величины :

Убедиться, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Решение. Найдем математическое ожидание :

Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений  вычтем математическое ожидание :

Напишем закон распределения отклонения:

Найдем математическое ожидание отклонения:

Итак, математическое ожидание отклонения равно нулю, как и должно быть.

Замечание. Наряду с термином «отклонение» используют термин «центрированная величина». Центрированной случайной величиной  называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием:

.

Название «центрированная величина» связано с тем, что математическое ожидание есть центр распределения.

6.3. Дисперсия дискретной случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. , для любой случайной величины равно нулю. Это свойство уже было доказано в предыдущем параграфе и объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие — отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиныот ее математического ожидания:

Пусть случайная величина задана законом распределения

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

По определению дисперсии,

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Замечание. Из определения следует, что дисперсия дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. Дисперсия непрерывной случайной величины также есть постоянная величина.

Пример. Найти дисперсию случайной величины , которая задана следующим законом распределения:

Решение. Найдем математическое ожидание:

Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

По определению,

Вычисление, основанное на определении дисперсии, оказалось относительно громоздким. Далее будет указана формула, которая приводит к цели значительно быстрее.

6.4. Формула для вычисления дисперсии

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины  и квадратом ее математического ожидания:

Доказательство. Математическое ожидание  есть постоянная величина, следовательно,  и  есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

Итак,

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Пример 1. Найти дисперсию случайной величины , которая задана следующим законом распределения:

Решение. Найдем математическое ожидание :

Напишем закон распределения случайной величины :

Найдем математические ожидания :

Искомая дисперсия

Замечание. Казалось бы, если  и  имеют одинаковые возможные значения и одно и то же математическое ожидание, то и дисперсии этих величин равны (ведь возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий!). Однако в общем случае это не так. Дело в том, что одинаковые возможные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями. Например, если вероятности «далеких» от математического ожидания возможных значений  больше, чем вероятности этих же значений , и вероятности «близких» значений  меньше, чем вероятности тех же значений , то, очевидно, дисперсия  больше дисперсии .

Приведем иллюстрирующий пример.

Пример 2. Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

Решение. Легко убедиться, что

Таким образом, возможные значения и математические ожидания  и  одинаковы, а дисперсии различны, причем . Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений.

6.5. Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины  равна нулю;

Доказательство. По определению дисперсии,

Пользуясь первым свойством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим

Итак,

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Доказательство. По определению дисперсии имеем

Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

Итак,

Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при  величина  имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина . Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания  больше, чем возможные значения  вокруг , т. е. . Напротив, если , то .

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

Итак,

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом математической индукции.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Доказательство. Величины  и  независимы, поэтому, по третьему свойству,

В силу первого свойства . Следовательно,

Свойство становится понятным, если учесть, что величины  и  отличаются лишь началом отсчетам, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Доказательство. В силу третьего свойства

По второму свойству,

или

6.6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Дисперсия числа появлений события  в  независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность  появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Доказательство. Рассмотрим случайную величину  — число появлений события  в  независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

где  — число наступлений события в первом испытании,  — во втором, ...,  — в -м.

Величины  взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1:

Вычислим дисперсию  по формуле

Величина  — число появлений события  в первом испытании, поэтому .

Найдем математическое ожидание величины , которая может принимать только два значения, а именно:  с вероятностью  и  с вероятностью :

Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна . Заменив каждое слагаемое правой части (*) через , окончательно получим

Замечание. Так как величина  распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами  и  равна произведению .

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины  — числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, . Очевидно, вероятность непоявления события

Искомая дисперсия

6.7. Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины  называют квадратный корень из дисперсии:

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность  совпадает с размерностью . Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если  выражается в линейных метрах, то  будет выражаться также в линейных метрах, a  — в квадратных метрах.

Пример. Случайная величина  задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение .

Решение. Найдем математическое ожидание :

Найдем математическое ожидание :

Найдем дисперсию:

Искомое среднее квадратическое отклонение

6.8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Доказательство. Обозначим через  сумму рассматриваемых взаимно независимых величин:

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых, поэтому

Отсюда

или окончательно

6.9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Уже известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то их числовые характеристики одинаковы.

Рассмотрим  взаимно независимых случайных величин  которые имеют одинаковые распределения, а, следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин, чем мы и займемся в настоящем параграфе.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :

Следующие ниже три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического  и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию  каждой из величин:

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно , получим

2. Дисперсия среднего арифметического  одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в  раз меньше дисперсии  каждой из величин:

Доказательство. Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых), имеем

Приняв во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна , получим

3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического  одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в  раз меньше среднего квадратического отклонения  каждой из величин:

Доказательство. Так как , то среднее квадратическое отклонение  равно

Общий вывод из формул (*) и (**): вспоминая, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины, заключаем, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.

Поясним на примере значение этого вывода для практики.

Пример. Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений, а затем находят среднее арифметическое полученных чисел, которое принимают за приближенное значение измеряемой величины. Предполагая, что измерения производятся в одних и тех же условиях, доказать:

а) среднее арифметическое дает результат более надежный, чем отдельные измерения;

б) с увеличением числа измерений надежность этого результата возрастает.

Решение. а) Известно, что отдельные измерения дают неодинаковые значения измеряемой величины. Результат каждого измерения зависит от многих случайных причин (изменение температуры, колебания прибора и т. п.), которые не могут быть заранее полностью учтены.

Поэтому мы вправе рассматривать возможные результаты  отдельных измерений в качестве случайных величин (индекс указывает номер измерения). Эти величины имеют одинаковое распределение вероятностей (измерения производятся по одной И той же методике и теми же приборами), а следовательно, и одинаковые числовые характеристики; кроме того, они взаимно независимы (результат каждого отдельного измерения не зависит от остальных измерений).

Мы уже знаем, что среднее арифметическое таких величин имеет меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. Иначе говоря, среднее арифметическое оказывается более близким к истинному значению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения.

Это и означает, что среднее арифметическое нескольких измерений дает более надежный результат, чем отдельное измерение.

б) Нам уже известно, что при возрастании числа отдельных случайных величин рассеяние среднего арифметического убывает. Это значит, что с увеличением числа измерений среднее арифметическое нескольких измерений все менее отличается от истинного значения измеряемой величины. Таким образом, увеличивая число измерений, получают более надежный результат.

Например, если среднее квадратическое отклонение отдельного измерения , а всего произведено  измерений, то среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих измерений равно лишь 1 м. Действительно,

Мы видим, что среднее арифметическое нескольких измерений, как и следовало ожидать, оказалось более близким к истинному значению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения.

6.10. Начальные и центральные теоретические моменты

Рассмотрим дискретную случайную величину , заданную законом распределения:

Найдем математическое ожидание :

Напишем закон распределения :

Найдем математическое ожидание :

Видим, что  значительно больше . Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины , соответствующее значению  величины , стало равным 10 000, т.е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01)/

Таким образом, переход от  к  позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина  имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине , а тем более к величинам ,  и т.д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка  случайной величины  называют математическое ожидание величины :

В частности,

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии , можно записать так:

Кроме моментов случайной величины  целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Центральным моментом порядка  случайной величины  называют математическое ожидание величины

В частности,

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

Моменты более высоких порядков применяются редко.