Теорема умножения вероятностей. Следствия теорем сложения и умножения

3.1. Произведение событий

Произведением двух событий  и  называют событие , состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если  —деталь годная,  — деталь окрашенная, то — деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если  —появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то  — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

3.2. Условная вероятность

Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий  может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий , не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события  при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий .

Условной вероятностью  называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие  уже наступило.

Пример 3.1. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие ).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

Этот же результат можно получить по формуле

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

Найдем вероятность  того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, —  равно числу размещений . Из этого числа исходов событию  благоприятствуют  исходов. Следовательно,

Искомая условная вероятность

Как видим, получен прежний результат.

Исходя из классического определения вероятности, формулу (3.1) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения.

Условная вероятность события  при условии, что событие  уже наступило, по определению, равна

3.3. Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события:  и ; пусть вероятности  и  известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие  и событие ? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема 3.1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Доказательство. По определению условной вероятности,

Отсюда

Замечание 3.1. Применив формулу (3.2) к событию , получим

или, поскольку событие  не отличается от события ,

Сравнивая формулы (3.3) и (3.4), заключаем о справедливости равенства

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

где  — вероятность события , вычисленная в предположении, что события  наступили. В частности, для трех событий

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т.е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т.д.

Пример 3.2. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие ),

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие ), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т.е. условная вероятность

По теореме умножения, искомая вероятность

Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем:

что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (3.5).

Пример 3.3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором — черный (событие ) и при третьем — синий (событие ).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т.е. условная вероятность

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т.е. условная вероятность

Искомая вероятность

3.4. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Пусть вероятность события  не зависит от появления события .

Событие  называют независимым от события , если появление события  не изменяет вероятности события , т.е. если условная вероятность события  равна его безусловной вероятности:

Подставив (3.6) в соотношение (3.5), получим

Отсюда

т.е. условная вероятность события  в предположении, что наступило событие , равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие  не зависит от события .

Итак, если событие  не зависит от события , то и событие  не зависит от события ; это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения

имеет вид

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (3.7) принимают в качестве определения независимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Пример 3.4. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие ) равна 0,8, а вторым (событие ) — 0,7.

Решение. События  и  независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

Замечание 3.2. Если события  и  независимы, то независимы также события  и ,  и ,  и . Действительно,

Следовательно,

или

Отсюда

или

т.е. события  и  независимы.

Независимость событий  и ,  и  — следствие доказанного утверждения.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события  попарно независимы, если независимы события  и ,  и ,  и .

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события  независимы в совокупности, то независимы события  и   и ,  и ;  и ,  и ,  и . Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности, В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один — в красный цвет (), один — в синий цвет (), один — в черный цвет () и один — во все эти три цвета (). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то

Рассуждая аналогично, найдем

Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т.е. событие  уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т.е. изменится ли вероятность события ?

Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события  по-прежнему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность события , вычисленная в предположении, что наступило событие , равна его безусловной вероятности. Следовательно, события  и  независимы. Аналогично придем к выводу, что события  и ,  и  независимы. Итак, события ,  и  попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события  и  произошли, приходим к выводу, что событие  обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность  события А не равна его безусловной вероятности . Итак, попарно независимые события , ,  не являются независимыми в совокупности.

Приведем теперь следствие из теоремы умножения.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Доказательство. Рассмотрим три события: ,  и . Совмещение событий ,  и  равносильно совмещению событий  и , поэтому

Так как события ,  и  независимы в совокупности, то независимы, в частности, события  и , а также  и . По теореме умножения для двух независимых событий имеем:

и

Итак, окончательно получим

Для произвольного  доказательство проводится методом математической индукции.

Замечание 3.3. Если события  независимы в совокупности, то и противоположные им события  также независимы в совокупности.

Пример 3.5. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение. Вероятность появления герба первой монеты (событие )

Вероятность появления герба второй монеты (событие )

События  и  независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

Пример 3.6. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие ),

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие ),

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие ),

Так как события ,  и  независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Приведем пример совместного применения теорем сложения и умножения.

Пример 3.7. Вероятности появления каждого из трех независимых событий  соответственно равны  Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение. Заметим, что, например, появление только первого события  равносильно появлению события  (появилось первое и не появились второе и третье события). Введем обозначения:

 — появилось только событие  т. е. ;

 — появилось только событие , т. е. ;

 — появилось только событие , т. е. .

Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий , будем искать вероятность  появления одного, безразлично какого из событий .

Так как события  несовместны, то применима теорема сложения

Остается найти вероятности каждого из событий .

События  независимы, следовательно, независимы события , поэтому к ним применима теорема умножения

Аналогично,

Подставив эти вероятности в (3.8), найдем искомую вероятность появления только одного из событий :

3.5. Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться  событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема 3.2. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением, вероятностей противоположных событий :

Доказательство. Обозначим через  событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . События  (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

или

Частный случай. Если события  имеют одинаковую вероятность, равную , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Пример 3.8. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: . Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие ) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события  (попадание первого орудия),  (попадание второго орудия) и  (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям  и  (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

Искомая вероятность

Пример 3.9. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие ).

Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

Искомая вероятность

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример 3.10. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через  событие «при  выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы един раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т.д., независимы в совокупности, поэтому применима формула (3.10)

Приняв во внимание, что, по условию, , (следовательно, ), получим

отсюда

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

Отсюда, учитывая, что , имеем

Итак, , т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Пример 3.11. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Решение. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (3.10)

По условию,  Следовательно,

или

Отсюда

Искомая вероятность

3.6. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Была рассмотрена теорема сложения для несовместных событий. Здесь будет изложена теорема сложения для совместных событий.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 3.12.  — появление четырех очков при бросании игральной кости;  — появление четного числа очков. События  и  – совместные.

Пусть события  и  совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события , состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий  и  Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема 3.3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство. Поскольку события  и , по условию, совместны, то событие  наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: ,  или . По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

Событие  произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий:  или . По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Отсюда

Аналогично имеем

Отсюда

Подставив (3.12) и (3.13) в (3.11), окончательно получим

Замечание 3.4. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события  и  могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий

для зависимых событий

Замечание 3.5. Если события  и  несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, .

Формула (3.14) для несовместных событий принимает вид

Мы вновь получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула (3.14) справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Пример 3.13. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: . Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события  (попадание первого орудия) и  (попадание второго орудия) независимы.

Вероятность события  (оба орудия дали попадание)

Искомая вероятность

Замечание 3.6. Так как в настоящем примере события  и  независимые, то можно было воспользоваться формулой . В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям  и , т.е. вероятности промахов, таковы:

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна

Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

3.7. Формула полной вероятности

Пусть событие  может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности  события . Как найти вероятность события ? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 3.4. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события :

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство. По условию, событие  может наступить, если наступит одно из несовместных событий . Другими словами, появление события  означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . Пользуясь для вычисления вероятности события  теоремой сложения, получим

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Подставив правые части этих равенств в соотношение (3.15), получим формулу полной вероятности

Пример 3.14. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Решение. Обозначим через  событие «извлеченная деталь стандартна».

Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие ), либо из второго (событие ).

Вероятность того, что деталь вынута из первого набора,

Вероятность того, что деталь вынута из второго набора,

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь,

Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь,

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна

Пример 3.15. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение. Обозначим через  событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа».

Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие ), либо нестандартная (событие ).

Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа,

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа,

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна

3.8. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие  может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события  определяется по формуле полной вероятности:

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие . Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие  уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Найдем сначала условную вероятность . По теореме умножения имеем

Отсюда

Заменив здесь  по формуле (3.16), получим

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы

может быть вычислена по формуле

Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Пример 3.16. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через  событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:

1) деталь проверил первый контролер (гипотеза );

2) деталь проверил второй контролер (гипотеза ).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса:

По условию задачи имеем:

       (вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру);

       (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру);

    (вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной);

    (вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).

Искомая вероятность