Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины

5.1. Случайная величина

Уже в первой части приводились события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 5.1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100.

Пример 5.2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку .

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами , а их возможные значения — соответствующими строчными буквами . Например, если случайная величина  имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: .

5.2. Дискретные и непрерывные случайные величины

Вернемся к примерам, приведенным выше. В первом из них случайная величина  могла принять одно из следующих возможных значений: 0,1,2,…,100.

Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений . Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка . Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Замечание 5.1. Настоящее определение непрерывной случайной величины не является точным. Более строгое определение будет дано позднее.

5.3. Закон распределения вероятностей
дискретной случайной величины

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их — различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события   образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

Если множество возможных значений  бесконечно (счетно), то ряд  сходится и его сумма равна единице.

Пример 5.3. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины  — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения . Вероятности этих возможных значений таковы:

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: .

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

5.4. Биномиальное распределение

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых событие  может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна  (следовательно, вероятность непоявления )- Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины  число появлений события  в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины . Для ее решения требуется определить возможные значения  и их вероятности. Очевидно, событие  в  испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо  раз. Таким образом, возможные значения  таковы: . Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

где  

Формула (5.1) и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства (5.1) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Таким образом, первый член разложения  определяет вероятность наступления рассматриваемого события  раз в  независимых испытаниях; второй член  определяет вероятность наступления события  раз; ... ; последний член  определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

Пример 5.4. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины  — числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты , следовательно, вероятность непоявления «герба»

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения  таковы: . Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: .

5.5. Распределение Пуассона

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  равна . Для определения вероятности  появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же  велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (). В этих случаях ( велико,  мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно  раз. Сделаем важное допущение: произведение  сохраняет постоянное значение, а именно . Как будет следовать из дальнейшего, это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях , остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

Так как , то . Следовательно,

Приняв во внимание, что  имеет очень большое значение, вместо  найдем . При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности:  хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим  к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение  сохраняет постоянное значение, то при  вероятность .

Итак,

Таким образом (для простоты записи знак приближенного равенства опущен),

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых ( велико) и редких ( мало) событий.

Замечание 5.2. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти , зная  и .

Пример 5.5. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, . Найдем :

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

6.6. Простейший поток событий

Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления  событий на любом промежутке времени зависит только от числа  и от длительности  промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися. Например, вероятности появления  событий на промежутках времени  одинаковой длительности  ед. времени равны между собой.

Итак, если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления  событий за промежуток времени длительности  есть функция, зависящая только от  и .

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления  событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления  событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Замечание 5.3. Часто на практике трудно установить, обладает ли поток перечисленными выше свойствами. Поэтому были найдены и другие условия, при соблюдении которых поток можно считать простейшим или близким к простейшему. В частности, установлено, что если поток представляет собой сумму очень большого числа независимых стационарных потоков, влияние каждого из которых на всю сумму (суммарный поток) ничтожно мало, то суммарный поток (при условии его ординарности) близок к простейшему.

Интенсивностью потока  называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления  событий простейшего потока за время длительностью  определяется формулой Пуассона

Эта формула отражает все свойства простейшего потока.

Действительно, из формулы видно, что вероятность появления  событий за время , при заданной интенсивности является функцией  и , что характеризует свойство стационарности.

Формула не использует информации о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка, что характеризует свойство отсутствия последействия.

Убедимся, что формула отражает свойство ординарности. Положив  и , найдем соответственно вероятности непоявления событий и появления одного события:

Следовательно, вероятность появления более одного события

Пользуясь разложением

после элементарных преобразований получим

Сравнивая  и , заключаем, что при малых значениях  вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что характеризует свойство ординарности.

Итак, формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример 5.6. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

Решение. По условию, . Воспользуемся формулой Пуассона

а) Искомая вероятность того, что за 5 мин поступит 2 вызова,

Это событие практически невозможно.

б) События «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов» несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за 5 мин поступит менее двух вызовов, равна

Это событие практически невозможно.

в) События «поступило менее двух вызовов» и «поступило не менее двух вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 5 мин поступит не менее двух вызовов,

Это событие практически достоверно.

5.7. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события  равна  и, следовательно, вероятность его непоявления . Испытания заканчиваются, как только появится событие . Таким образом, если событие  появилось в -м испытании, то в предшествующих  испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через  дискретную случайную величину — число испытаний, которые нужно провести до первого появления события . Очевидно, возможными значениями  являются натуральные числа:

Пусть в первых  испытаниях событие  не наступило, а в -м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,

Полагая  в формуле (5.2), получим геометрическую прогрессию с первым членом  и знаменателем  

По этой причине распределение (5.2) называют геометрическим.

Легко убедиться, что ряд (5.3) сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда (5.3)

Пример 5.7. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель . Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, . Искомая вероятность по формуле (5.2)

5.8. Гипергеометрическое распределение

Прежде чем дать определение гипергеометрического распределения, рассмотрим задачу. Пусть в партии из  изделий имеется  стандартных (). Из партии случайно отбирают  изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию (поэтому формула Бернулли здесь неприменима). Обозначим через  случайную величину—число  стандартных изделий среди  отобранных. Очевидно, возможные значения  таковы: .

Найдем вероятность того, что , т.е. что среди  отобранных изделий ровно  стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь  изделий из  изделий, т.е. числу сочетаний .

Найдем число исходов, благоприятствующих событию  (среди взятых  изделий ровно  стандартных);  стандартных изделий можно извлечь из  стандартных изделий  способами; при этом остальные  изделий должны быть нестандартными; взять же  нестандартных изделий из  нестандартных изделий можно  способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно  (см. правило умножения).

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию , к числу всех элементарных исходов

Формула (5.4) определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.

Учитывая, что  — случайная величина, заключаем, что гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: . Иногда в качестве параметров этого распределения рассматривают  и , где  — вероятность того, что первое извлеченное изделие стандартное.

Заметим, что если  значительно меньше  (практически если ), то гипергеометрическое распределение дает вероятности, близкие к вероятностям, найденным по биномиальному закону.

Пример 5.8. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

Решение. По условию, . Искомая вероятность

5.9. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическое ожидание, как будет показано далее, приближенно равно среднему значению случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения задач, подобных приведенной и многих других, знание математического ожидания оказывается достаточным.

5.10. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина  может принимать только значения , вероятности которых соответственно равны . Тогда математическое ожидание  случайной величины  определяется равенством

Если дискретная случайная величина  принимает счетное множество возможных значений, то

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Замечание 5.4. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. Рекомендуем запомнить это утверждение, так как далее оно используется многократно. В дальнейшем будет показано, что математическое ожидание непрерывной случайной величины также есть постоянная величина.

Пример 5.9. Найти математическое ожидание случайной величины , зная закон ее распределения:

Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

Пример 5.10. Найти математическое ожидание числа появлений события  в одном испытании, если вероятность события  равна .

Решение. Случайная величина  — число появлений события  в одном испытании — может принимать только два значения:  (событие А наступило) с вероятностью  и  (событие  не наступило) с вероятностью . Искомое математическое ожидание

Итак, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события. Этот результат будет использован ниже.

5.11. Вероятностный смысл математического ожидания

Пусть произведено  испытаний, в которых случайная величина  приняла  раз значение  раз значение , … ,  paз значение , причем . Тогда сумма всех значений, принятых , равна

Найдем среднее арифметическое  всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:

или

Заметив, что отношение  — относительная частота  значения  — относительная частота  значения  и т.д., запишем соотношение (5.5) так:

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события (это будет доказано позже):

Заменив в соотношении (5.6) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

Правая часть этого приближенного равенства есть .

Итак,

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Замечание 5.5. Легко сообразить, что математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения.

Этот термин заимствован из механики: если массы  расположены в точках с абсциссами , причем , то абсцисса центра тяжести

Учитывая, что  и  получим .

Итак, математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы — их вероятностям.

Замечание 5.6. Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI — XVII вв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, или, иными словами, математическое ожидание выигрыша.

5.12. Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Доказательство. Будем рассматривать постоянную  как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение  и принимает его с вероятностью . Следовательно,

Замечание 5.7. Определим произведение постоянной величины  на дискретную случайную величину  как дискретную случайную , возможные значения которой равны произведениям постоянной  на возможные значения ; вероятности возможных значений  равны вероятностям соответствующих возможных значений . Например, если вероятность возможного значения  равна  то вероятность того, что величина примет значение t также равна .

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Доказательство. Пусть случайная величина  задана законом распределения вероятностей:

Учитывая замечание 5.7, напишем закон распределения случайной величины :

Математическое ожидание случайной величины :

Итак,

Замечание 5.8. Прежде чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа Из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 5.9. Определим произведение независимых случайных величин  и  как случайную величину , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения  на каждое возможное значение ; вероятности возможных значений произведения  равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения  равна  вероятность возможного значения  равна , то вероятность возможного значения  равна .

Заметим, что некоторые произведения  могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если . то вероятность  (или, что то же, ) равна

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть независимые случайные величины  и  заданы своими законами распределения вероятностей[1]:

Составим все значения, которые может принимать случайная величина . Для этого перемножим все возможные значения  на каждое возможное значение ; в итоге получим , ,  и . Учитывая замечание 5.9, напишем закон распределения , предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

или

Итак,

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.

Пример 5.11. Независимые случайные величины  и  заданы следующими законами распределения:

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Случайные величины  и  независимые, поэтому искомое математическое ожидание

Замечание 5.10. Определим сумму случайных величин  и  как случайную величину , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения  с каждым возможным значением ; вероятности возможных значений  для независимых величин  и  равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Заметим, что некоторые суммы  могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если  и вероятности этих возможных значений соответственно равны  и , то вероятность  (или, что то же, ) равна  

Следующее ниже свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Доказательство. Пусть случайные величины  и  заданы следующими законами распределения[2]:

Составим все возможные значения величины . Для этого к каждому возможному значению  прибавим каждое возможное значение ; получим  ,  и  Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через , ,  и .

Математическое ожидание величины  равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

или

Докажем, что . Событие, состоящее в том, что  примет значение  (вероятность этого события равна ), влечет за собой событие, которое состоит в том, что  примет значение  или  (вероятность этого события по теореме сложения равна ), и обратно. Отсюда и следует, что . Аналогично доказываются равенства

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (5.7), получим

или окончательно

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем

Для произвольного числа слагаемых величин доказательство проводится методом математической индукции.

Пример 5.12. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными ;  и . Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина  которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью  и 0 (промах) с вероятностью

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (см. пример 5.10), т.е. .

Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: , .

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом, ожидании суммы:

Пример 5.13. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через  и на второй — через . Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

Очевидно, что и

Искомое математическое ожидание

5.13. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна . Чему равно среднее число появлений события  в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 5.1. Математическое ожидание  числа появлений события  в  независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Доказательство. Будем рассматривать в качестве случайной величины  число наступления события  в  независимых испытаниях. Очевидно, общее число  появлений события  в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если  — число появлений события в первом испытании,  — во втором,...,  — в -м, то общее число появлений события .

По третьему свойству математического ожидания,

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании:  — в первом,  — во втором и т.д. Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события (см. пример 5.10), то  

Подставляя в правую часть равенства (5.8) вместо каждого слагаемого , получим

Замечание 5.11. Так как величина  распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: математическое ожидание биномиального распределения с параметрами пар равно произведению .

Пример 5.14. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия . Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание

[1] Для упрощения выкладок мы ограничились малым числом возможных значений. В общем случае доказательство аналогичное.