Теорема сложения вероятностей

2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой  двух событий  и  называют событие, состоящее в появлении события , или события , или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и  — попадание при первом выстреле,  — попадание при втором выстреле, то  — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события  и  — несовместные, то  — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие  состоит в появлении одного из следующих событий: ,  и ,  и ,  и ,  и  и .

Пусть события  и  — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие , либо событие ? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Введем обозначения:  — общее число возможных элементарных исходов испытания;  — число исходов, благоприятствующих событию ;  — число исходов, благоприятствующих событию .

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события , либо события , равно . Следовательно,

Приняв во внимание, что  и , окончательно получим

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Рассмотрим три события: ,  и . Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, ,  и , равносильно наступлению одного из двух событий,  и , поэтому в силу указанной теоремы

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.

Пример 2.1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие )

Вероятность появления синего шара (событие )

События  и  несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. События  — «стрелок попал в первую область» и  — «стрелок попал во вторую область» — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

2.2. Полная группа событий

Теорема. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Сравнивая (2.1) и (2.2), получим

Пример 3. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов ,  и . Вероятность получения пакета из города  равна 0,7, из города  — 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города .

Решение. События «пакет получен из города », «пакет получен из города », «пакет получен из города » образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

Отсюда искомая вероятность

2.3. Противоположные события

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через , то другое принято обозначать .

Пример 4. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если  — попадание, то  — промах.

Пример 5. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Доказательство. Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Замечание 2.1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через , то вероятность другого события обозначают через . Таким образом, в силу предыдущей теоремы

Пример 3. Вероятность того, что день будет дождливым, . Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События «день дождливый» и «день ясный» — противоположные, поэтому искомая вероятность

Замечание 2.2. При решении задач на отыскание вероятности события  часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле

Пример 4. В ящике имеется  деталей, из которых  стандартных. Найти вероятность того, что среди  наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.

Решение. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» –противоположные. Обозначим первое событие через , а второе – через .

Очевидно,

Найдем . Общее число способов, которыми можно извлечь  деталей из  деталей, равно . Число нестандартных деталей равно ; из этого числа деталей можно  способами извлечь  нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных  деталей нет ни одной стандартной, равна

Искомая вероятность

2.4. Принцип практической невозможности маловероятных событий

При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, т.е. близка к нулю. Можно ли считать, что маловероятное событие  в единичном испытании не произойдет? Такого заключения сделать нельзя, так как не исключено, хотя и мало вероятно, что событие  наступит.

Казалось бы, появление или непоявление маловероятного события в единичном испытании предсказать невозможно. Однако длительный опыт показывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает. На основании этого факта принимают следующий «принцип практической невозможности маловероятных событий»: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Естественно возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать невозможным его появление в одном испытании? На этот вопрос нельзя ответить однозначно. Для задач, различных по существу, ответы разные. Например, если вероятность того, что парашют при прыжке не раскроется, равна 0,01, то было бы недопустимым применять такие парашюты. Если же вероятность того, что поезд дальнего следования прибудет с опозданием, равна 0,01, то можно практически быть уверенным, что поезд прибудет вовремя.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости.

На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т.д.