Повторение испытаний. Наивероятнейшее число наступления события. Производящая функция

4.1. Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события  в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события .

В разных независимых испытаниях событие  может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие  имеет одну и ту же вероятность.

Ниже воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых событие  может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события  в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события  в каждом испытании также постоянна и равна .

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при  испытаниях событие  осуществится ровно  раз и, следовательно, не осуществится  раз.

Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие  повторилось ровно к раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события  три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: , , , . Запись  означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие  наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т.е. наступило противоположное событие ; соответственный смысл имеют и другие записи.

Искомую вероятность обозначим . Например, символ  означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в  испытаниях событие  наступит  раз и не наступит  раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из  элементов по  элементов, т. е. . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления  раз события  в  испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

или

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Пример 4.1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна

Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна .

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

4.2. Локальная теорема Лапласа

Выше была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что событие появится в  испытаниях ровно  раз. При выводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях  достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если , , , то для отыскания вероятности  надо вычислить выражение

где

Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую[1] формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно  раз в  испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Заметим, что для частного случая, а именно для , асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного , отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра-Лапласа.

Доказательство локальной теоремы Лапласа довольно сложно, поэтому мы приведем лишь формулировку теоремы и примеры, иллюстрирующие ее использование.

Теорема 4.1. (Локальная теорема Лапласа). Если вероятность  появления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях ровно  раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции

при

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции

соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция  четна, т. е. .

Итак, вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях ровно  раз, приближенно равна

где

Пример 4.2. Найти вероятность того, что событие  наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, ; ; ;  Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

Вычислим определяемое данными задачи значение :

По таблице приложения 1 находим .

Искомая вероятность

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):

Пример 4.3. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле . Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Решение. По условию, ; ; ; . Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

Вычислим определяемое данными задачи значение :

По таблице приложения 1 находим .

Искомая вероятность

Формула Бернулли приводит к иному результату, а именно

Столь значительное расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере  имеет малое значение (формула Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях ).

4.3. Интегральная теорема Лапласа

Вновь предположим, что производится  испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна . Как вычислить вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях не менее  и не более  раз (для краткости будем говорить «от  до  раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.

Теорема 4.2. Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях от  до  раз, приближенно равна определенному интегралу

где

и

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл  не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла

приведена в конце лекционного материала (см. приложение 2). В таблице даны значения функции  для положительных значений  и для ; для  пользуются той же таблицей, т.к. функция  нечетна, т.е.

В таблице приведены значения интеграла лишь до , так как для  можно принять . Функцию  часто называют функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (4.1) так:

Итак, вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях от  до  раз,

где

и

Приведем пример, иллюстрирующий применение интегральной теоремы Лапласа.

Пример 4.4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию, ; ; ; ; . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Таким образом, имеем

По таблице приложения 2 находим:

Искомая вероятность

Замечание 4.1. Обозначим через  число появлений события  при  независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события  постоянна и равна . Если число  изменяется от  до , то дробь

изменяется от

Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:

Эта форма записи используется ниже.

4.4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вновь будем считать, что производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна  .

Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты  от постоянной вероятности  по абсолютной величине не превышает заданного числа . Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства

Эту вероятность будем обозначать так:

Заменим неравенство (4.2) ему равносильными:

или

Умножая эти неравенства на положительный множитель

получим неравенства, равносильные исходному:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа в форме, указанной в замечании 4.1. Положив

и

имеем

Наконец, заменив неравенства, заключенные в скобках, равносильным им исходным неравенством, окончательно получим

Итак, вероятность осуществления неравенства

приближенно равна значению удвоенной функции Лапласа  при

Пример 4.5. Вероятность того, что деталь не стандартна, . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности  по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. По условию, ; ; ; . Требуется найти вероятность

Пользуясь формулой

имеем

По таблице приложения 2 находим . Следовательно,

Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544.

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности  по абсолютной величине не превысит 0,03,

Пример 4.6. Вероятность того, что деталь не стандартна, . Найти, сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей (среди отобранных) отклонится от постоянной вероятности  по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. По условию,

Требуется найти .

Воспользуемся формулой

В силу условия

Следовательно,

По таблице приложения 2 находим .

Для отыскания числа  получаем уравнение . Отсюда искомое число деталей .

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей, то в 95,44% этих проб относительная частота появления нестандартных деталей будет отличаться от постоянной вероятности  по абсолютной величине не более чем на 0,03, т.е. относительная частота заключена в границах от  до . Другими словами, число нестандартных деталей в 95,44% проб будет заключено между 28 (7% от 400) и 52 (13% от 400).

Если взять лишь одну пробу из 400 деталей, то с большой уверенностью можно ожидать, что в этой пробе будет нестандартных деталей не менее 28 и не более 52. Возможно, хотя и маловероятно, что нестандартных деталей окажется меньше 28 либо больше 52.

4.5. Наивероятнейшее число появлений события
в независимых испытаниях

Число  (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях  раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число  определяют из двойного неравенства

причем:

а) если число  — дробное, то существует одно наивероятнейшее число ;

б) если число  — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно:  и

в) если число  — целое, то наивероятнейшее число .

4.6. Производящая функция

Ранее рассматривались испытания с одинаковыми вероятностями появления события; рассмотрим испытания, в которых вероятности появления события различны.

Пусть производится  независимых испытаний, причем в первом испытании вероятность появления события  равна , во втором — ,…, в -м испытании — ; вероятности непоявления события  соответственно равны ;  – вероятность появления события  в  испытаниях ровно  раз.

Производящей функцией вероятностей  называют функцию, определяемую равенством

Вероятность  того, что в  независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события  равна , во втором  и т.д., событие  появится ровно  раз, равна коэффициенту при  в разложении производящей функции по степеням . Например, если , то

Здесь коэффициент  при  равен вероятности  того, что событие  появится ровно два раза в двух испытаниях; коэффициент  при  равен вероятности  того, что событие  появится ровно один раз; коэффициент при , т. е. свободный член  равен вероятности  того, что событие  не появится ни одного раза.