Сходимость числовых рядов с положительными членами. Признаки Даламбера, радикальный и интегральный Коши

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами ,

где  содержит произведения многих сомножителей (например, степени и факториалы).

План решения.

Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами . Если существует предел

,

то при  ряд сходится, а при  расходится. Если , то признак Даламбера ответа не дает и требуется дополнительное исследование ряда.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Проверяем, что  для всех .

3. Вычисляем предел .

4. Применяем признак Даламбера и делаем вывод о сходимости или расходимости исследуемого ряда.

Замечание. Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в таком случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и применить признак Даламбера к упрощенному ряду.

Задача 5. Исследовать на сходимость ряд. .

Сравним данный ряд с рядом . Мы можем это сделать согласно предельному признаку сравнения:

.

Воспользуемся признаком Даламбера:

Ряд  сходится. Значит сходится и исследуемый ряд.

Задача 6 Радикальный признак Коши

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

и  существует и легко вычисляется.

План решения.

Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд с положительными членами .

Если существует предел ,

то при  ряд сходится, при  – расходится. Если , то признак Коши ответа не дает и требуется дополнительное исследование ряда.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Проверяем, что  для всех .

3. Вычисляем предел .

4. Применяем радикальный признак Коши и делаем вывод о сходимости или расходимости исследуемого ряда.

Замечание 1. Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в таком случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и применить радикальный признак Коши к упрощенному ряду.

Замечание 2. Полезно иметь в виду, что

.

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд. .

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

Задача 7 Интегральный признак Коши

Постановка решения. Исследовать сходимость ряда с положительными членами ,

где , причем первообразная функции  легко вычисляется.

План решения.

Если , причем первообразная функции  легко вычисляется, то применяем интегральный признак Коши:

Если функция , принимающая в точках  значения , убывает в некотором промежутке , то ряд  и несобственный интеграл  либо оба сходятся, либо оба расходятся одновременно.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Упрощаем, если требуется, выражение для , т.е. будем исследовать сходимость ряда , такого, что  при  и  выбраны так, чтобы функция  имела очевидную первообразную . Затем используем вторую теорему сравнения.

3. Исследуем сходимость несобственного интеграла по определению

.

4. Применяем интегральный признак Коши к ряду

и затем делаем вывод о сходимости или расходимости исходного ряда , используя вторую (предельную) теорему сравнения.

Замечание. Интегральный признак Коши применяется в частности к рядам вида .

Задача 7. Исследовать на сходимость ряд. .

Сравним данный ряд с рядом . Мы можем это сделать согласно предельному признаку сравнения:

.

Воспользуемся интегральным признаком Коши:

Ряд  сходится, значит сходится и исследуемый ряд.

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

Воспользуемся признаком Даламбера

Ряд сходится.

Задача 5. Исследовать ряд на сходимость.

Радикальный признак Коши

Ряд сходится.

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.

Сравним данный ряд с рядом  

Мы можем сделать это, руководствуясь предельным признаком сравнения.

Интегральный признак Коши

.

Ряд  расходится, значит расходится и исследуемый ряд.