Сходимость числового ряда. Вычисление суммы сходящегося числового ряда. Сходимость числовых рядов с положительными членами. Необходимое условие сходимости. Признаки сравнения

Постановка задачи. Найти сумму ряда , где  – целые числа.

План решения.

Суммой ряда  называется предел последовательности его частичных сумм , т.е. , где .

1. По условию задачи .

Если корни знаменателя отличаются на целое число, т.е. , где  – натуральное число, то члены последовательности частичных сумм ряда  легко найти, т.к. в выражении  многие слагаемые взаимно уничтожаются.

2. Раскладываем общий член ряда на элементарные дроби:

.

3. Находим -ю частичную сумму ряда:

,

сократив соответствующие слагаемые.

4. Вычисляем сумму ряда по формуле .

Замечание 1. Если коэффициент при  не равен единице, но равен квадрату целого числа, то все выполняется аналогично.

Замечание 2. Если суммирование ряда начинается не с 1, а с некоторого номера , то -я частичная сумма ряда будет .

Задача 1. Найти сумму ряда. .

Сумма ряда: , где  – сумма  первых членов ряда.

Представим ряд в виде:

.

Тогда

Сумма ряда .

Задача 2

Постановка задачи. Найти сумму ряда , где  – целые числа.

План решения.

Суммой ряда  называется предел последовательности его частичных сумм , т.е.

, где .

1. По условию задачи .

Т.к. корни знаменателя отличаются на целое число, то члены последовательности частичных сумм ряда  легко найти, т.к. в выражении  многие слагаемые взаимно уничтожаются.

2. Раскладываем общий член ряда на элементарные дроби:

,

где числа  находим методом неопределенных коэффициентов. Для этого приводим к общему знаменателю дроби в левой и правой части тождества и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  в числителях слева и справа. В результате получим систему трех уравнений с тремя неизвестными, которая имеет единственное решение.

3. Находим -ю частичную сумму ряда: ,

сократив соответствующие слагаемые.

4. Вычисляем сумму ряда по формуле .

Замечание. Если суммирование ряда начинается не с 1, а с некоторого номера , то -я частичная сумма ряда будет .

Задача 2. Найти сумму ряда. .

Представим общий член ряда в виде

.

Тогда .

.

Тогда .

Сумма  первых членов ряда

Сумма ряда .

Задача 1. Найти сумму ряда.

Сумма ряда где - сумма n первых членов ряда.

Сумма ряда

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами ,

где  и , … – функции с известными наименьшими и наибольшими значениями, причем функция  монотонно зависит от , …

План решения.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Поскольку , то можно применить первую теорему сравнения:

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами  и .

Если , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда .

Если , то из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

3. Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного ряда, необходимо установить справедливость одной из двух гипотез:

1) Исходный ряд  сходится.

2) Исходный ряд  расходится.

3.1. Проверяем первую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ряд  сходится, нужно найти сходящийся ряд  такой, что .

В качестве эталонного ряда используем одни из следующих рядов:

а) сходящийся гармонический ряд  при  ( – константа);

б) сходящийся геометрический ряд  при  ( – константа).

Если существует сходящийся ряд  такой, что выполняется неравенство , то по первой теореме сравнения исходный ряд  сходится. В противном случае проверяем вторую гипотезу.

3.2. Проверяем вторую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ряд  расходится, нужно найти расходящийся ряд  такой, что .

В качестве эталонного ряда  используем одни из следующих рядов:

а) расходящийся гармонический ряд  при  ( – константа);

б) расходящийся геометрический ряд  при  ( – константа).

Если существует расходящийся ряд  такой, что выполняется неравенство , то по первой теореме сравнения исходный ряд  расходится.

Замечание. Для оценки общего члена ряда используем неравенства:

, , ,

 и т.п.

Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.

Пример 1.

.

Сравним данный ряд с рядом . Т.к. для любых значений  выполняется неравенство

,

то из сходимости ряда  будет следовать сходимость исследуемого ряда. Ряд  сходится согласно интегральному признаку Коши:

.

Значит, сходится и исследуемый ряд.

Пример 2.

.

Сравним данный ряд с рядом . Т.к. при любых значениях  выполняется неравенство

,

то из расходимости ряда  будет следовать расходимость исследуемого ряда. Ряд  расходится согласно интегральному признаку Коши:

.

Значит, расходится и исследуемый ряд.

Задача 4. Вторая (предельная) теорема сравнения

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами .

План решения.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Проверяем, что  для всех .

3. Делаем вывод о сходимости или расходимости ряда, используя вторую (предельную) теорему сравнения:

Пусть даны два ряда  и , причем существует номер  такой, что при всех   и . Если существует конечный и отличный от нуля предел ,

то ряды  и  либо оба сходятся, либо оба расходятся одновременно.

В качестве эталонного ряда  обычно используют либо обобщенный гармонический ряд , который сходится при  и расходится при , либо геометрический ряд , который сходится при  и расходится при . Таким образом, необходимо найти последовательность  (или ) такую, что

 (или ) при .

Вывод: по второй (предельной) теореме сравнения исходный ряд  сходится, если  () и расходится, если  ().

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд. .

Сравним данный ряд с рядом . Мы можем это сделать согласно предельному признаку сравнения:

.

Ряд  сходится согласно интегральному признаку Коши:

.

Значит, сходится и исследуемый ряд.

Задача 2. Исследовать на сходимость ряд.

При любых значениях n выполняется неравенство

Ряд  является расходящимся (гармонический ряд), значит расходится и исследуемый ряд.

Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.

Сравним этот ряд с рядом .

Мы можем сделать это, т.к.

Интегральный признак Коши

Ряд   сходится, значит, сходится и исследуемый ряд.