Задачи физического и геометрического характера требующие решения дифференциальных уравнений и систем

В физических и геометрических задачах нужно прежде решить, какую из величин взять за независимую переменную , а какую - за неизвестную функцию (или функции - при составлении систем ДУ) . Затем нужно выразить, на сколько изменится значение искомой функции , когда независимая переменная  получит приращение . Затем выразить разность  через величины, о которых говорится в задаче. Разделив эту разность на  и переходя к пределу при , получим дифференциальное уравнение. Иногда ДУ можно составить более простым путем используя физический смысл производной.

№ 1. В сосуд, содержащий 10 л воды, непрерывно поступает со скоростью 2 л  в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут?

Примем за независимую переменную время , а за неизвестную функцию  - количество соли в сосуде через  минут. За промежуток времени от  до  минут количество соли в сосуде увеличивается из-за притока раствора на  кг соли. С другой стороны в вытекающих  л раствора содержится  кг соли, где  - изменение количества соли за время .

Итак, во втекающем растворе содержится  кг соли, а в вытекающем -  кг. Приращение количества соли за это время

 .

Разделив эту разность на  и переходя к пределу при , получим дифференциальное уравнение

.

Решая его, получим общее решение: .

Так как при  соли в сосуде не было, то . Найдем .

. Частное решение: .

Найдем количество соли в сосуде через 5 минут:  кг соли.

№ 2. Составить систему дифференциальных уравнений для задачи. «Тело массы  движется на плоскости , притягиваясь к точке  с силой , где  расстояние до этой точки.» Найти движение тела при начальных условиях , , ,  и траекторию этого движения.

Согласно второму закону Ньютона, система дифференциальных уравнений движения имеет вид . Эта система распадается на два уравнения.

Рассмотрим первое уравнение . Это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами с характеристическим уравнением . Решения характеристического уравнения , соответствующее решение: . Аналогично для второго уравнения: . Найдем произвольные постоянные .

, .

.

Последние уравнения являются параметрическим уравнением эллипса с полуосями  и . На рисунке показаны фазовые траектории для ,  (красная , синяя ).

В зависимости от величины  изменяется периодичность движения. При  за время  фазовая точка пройдет один оборот (против часовой стрелки), а при  за то же время - два оборота.

Повторять ДУ и системы перед контрольной

№ 3. Один конец пружины закреплен неподвижно в точке (0,0), а к другому при креплен груз массы , соединенный другой пружиной с грузом массы . Оба груза двигаются без трения по одной прямой, проходящей через точку (0,0). Каждая из пружин растягивается на величину  под действием силы . Найти возможные периодические движения системы.

№ 4. На концах вала закреплены два шкива, моменты инерции которых  и . При повороте одного шкива относительно другого на любой угол  вследствие деформации вала возникают упругие силы с крутящим моментом . Найти частоту крутильных колебаний вала при отсутствии внешних сил.

№ 5. К источнику тока с напряжением  последовательно присоединено сопротивление . Далее цепь разветвляется на две ветви, в одной из которых включена самоиндукция , а в другой - емкость . Найти силу тока в цепи (установившийся режим), проходящего через сопротивление . При какой частоте  сила тока наибольшая? Наименьшая?

№ 6. Какое условие достаточно наложить на собственные значения матрицы A, чтобы система уравнений (в векторной записи)  имела периодическое решение при всякой непрерывной вектор - функции  периода ?

Домашнее задание