Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины

8.1. Функция распределения вероятностей случайной величины

8.1.1. Определение функции распределения

Вспомним, что дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он неприменим, например, для непрерывных случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайную величину , возможные значения которой сплошь заполняют интервал . Можно ли составить перечень всех возможных значений ? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть  — действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что  примет значение, меньшее , т.е. вероятность события , обозначим через . Разумеется, если  изменяется, то, вообще говоря, изменяется и , т.е.  — функция от .

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина  в результате испытания примет значение, меньшее , т.е.

Геометрически это равенство можно истолковать так:  есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки .

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

8.1.2. Свойства функции распределения

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку :

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2.  —неубывающая функция, т.е.

, если

Доказательство. Пусть . Событие, состоящее в том, что  примет значение, меньшее , можно подразделить на следующие два несовместных события: 1)  примет значение, меньшее , с вероятностью ; 2)  примет значение, удовлетворяющее неравенству , с вероятностью .

По теореме сложения имеем

Отсюда

или

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то , или , что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

Это важное следствие вытекает из формулы (8.1), если положить  и .

Пример 8.1. Случайная величина  задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, принадлежащее интервалу

Решение. Так как на интервале , по условию,

то

Итак,

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина  примет одно определенное значение, равна нулю.

Действительно, положив в формуле (8.2)  , имеем

Устремим  к нулю. Так как  — непрерывная случайная величина, то функция  непрерывна. В силу непрерывности  в точке  разность  также стремится к нулю; следовательно,  Используя это положение, легко убедиться в справедливости равенств

Например, равенство  доказывается так:

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый. Этот факт полностью соответствует требованиям практических задач. Например, интересуются вероятностью того, что размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.

Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности  означает, что событие  невозможно (если, конечно, не ограничиваться классическим определением вероятности). Действительно, в результате испытания случайная величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным .

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то: 1)  при ; 2)  при .

Доказательство.

1) Пусть . Тогда событие  невозможно (так как значений, меньших  величина  по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть . Тогда событие  достоверно (так как все возможные значения  меньше ) и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси , то справедливы следующие предельные соотношения:

8.1.3. График функции распределения

Доказанные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.

График расположен в полосе, ограниченной прямыми ,  (первое свойство).

При возрастании  в интервале , в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (второе свойство).

При  ординаты графика равны нулю; при  ординаты графика равны единице (третье свойство).

График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис. 2.

Рис. 8.1

Замечание. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. Убедимся в этом на примере.

Пример 8.1. Дискретная случайная величина  задана таблицей распределения

Найти функцию распределения и вычертить ее график.

Решение. Если , то  (третье свойство).

Если , то . Действительно,  может принять значение 1 с вероятностью 0,3.

Если , то . Действительно, если  удовлетворяет неравенству , то  равно вероятности события  которое может быть осуществлено, когда  примет значение 1 (вероятность этого события равна 0,3) или значение 4 (вероятность этого события равна 0,1). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события  равна сумме вероятностей .

Если , то . Действительно, событие  достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График этой функции приведен на рис. 8.2.

Рис. 8.2.

8.2. Плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины

8.2.1. Определение плотности распределения

Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины  называют функцию  — первую производную от функции распределения :

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

8.2.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

Теорема 8.1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина  примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от  до :

Доказательство. Используем соотношение (8.2)

По формуле Ньютона-Лейбница,

Таким образом,

Так как , то окончательно получим

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью , кривой распределения  и прямыми  и .

Замечание. В частности, если  — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

Пример 8.2. Задана плотность вероятности случайной величины  

Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Искомая вероятность

8.2.3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения  по формуле

Действительно, мы обозначили через  вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , т.е.

Очевидно, неравенство  можно записать в виде двойного неравенства , следовательно,

Полагая в формуле (8.1) , , имеем

Наконец, заменив  на , в силу (8.5), окончательно получим

Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения, а именно:

Пример 8.3. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Построить график найденной функции.

Решение. Воспользуемся формулой

Если , то , следовательно, . Если , то , следовательно,

Если  то

Итак, искомая функция распределения

График этой функции изображен на рис. 8.3.

Рис. 8.3.

8.2.4. Свойства плотности распределения

Свойство 1. Плотность распределения — неотрицательная функция:

Доказательство. Функция распределения — неубывающая функция, следовательно, ее производная  — функция неотрицательная.

Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью , либо на этой оси.

График плотности распределения называют кривой распределения.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до  равен единице:

Доказательство. Несобственный интеграл

выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу . Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью  и кривой распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

Пример 8.4. Плотность распределения случайной величины  задана:

Найти постоянный параметр .

Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию

поэтому потребуем, чтобы выполнялось равенство

Отсюда

Найдем неопределенный интеграл:

Вычислим несобственный интеграл:

Таким образом, искомый параметр

8.2.5. Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть  — функция распределения непрерывной случайной величины . По определению плотности распределения, , или в иной форме

Как уже известно, разность  определяет вероятность того, что  примет значение, принадлежащее интервалу . Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ., к длине этого интервала (при ) равен значению плотности распределения в точке .

По аналогии с определением плотности массы в точке[1] целесообразно рассматривать значение функции  в точке  как плотность вероятности в этой точке.

Итак, функция  определяет плотность распределения вероятности для каждой точки .

Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т.е.

или

Так как  и , то

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно ) произведению плотности вероятности в точке  на длину интервала .

Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна площади прямоугольника с основанием  и высотой .

На рис. 8.4 видно, что площадь заштрихованного прямоугольника, равная произведению , лишь приближенно равна площади криволинейной трапеции (истинной вероятности, определяемой определенным интегралом ). Допущенная при этом погрешность равна площади криволинейного треугольника .

Рис. 8.4.

8.2.6. Закон равномерного распределения вероятностей

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределений. В настоящем параграфе рассматривается закон равномерного распределения вероятностей.

Нормальному и показательному законам посвящены следующие две главы.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Приведем пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины.

Пример 8.5. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом,  имеет равномерное распределение.

Найдем плотность равномерного распределения , считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале , на котором функция  сохраняет постоянные значения:

По условию,  не принимает значений вне интервала , поэтому  при  и .

Найдем постоянную . Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то должно выполняться соотношение

или

Отсюда

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения

График плотности равномерного распределения изображен на рис. 8.5, а график функции распределения — на рис. 8.3.

Рис. 8.5.

Замечание. Обозначим через  непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале , а через  — ее возможные значения. Вероятность попадания величины  (в результате испытания) в интервал , принадлежащий интервалу , равна его длине:

Действительно, плотность рассматриваемого равномерного распределения

Следовательно, вероятность попадания случайной величины  в интервал